La teoria della relatività ristretta ridotta all'osso

La Teoria della Relatività è spesso considerata dal grande pubblico qualcosa di impossibile da capire per una persona normale. D'altra parte Einstein è il simbolo del genio per antonomasia, e quindi anche la sua "teoria" è da molti considerata inarrivabile ai non geni. E' probabilmente anche per questo che tutti quei discorsi sul tempo che aumenta, le distanze che si restringono, il gemello che resta giovane, la velocità della luce che non si può superare, scatenano la fantasia degli scienziati fa da te, che si cimentano in goffi tentativi di smentirle la Teoria della Relatività. Credo che questo derivi dal non aver capito che tutte questi fenomeni strani e controintuitivi non sono la Teoria della Relatività, ma le conseguenze della Teoria della Relatività, che di per sé è qualcosa di estremamente semplice e ovvio. 

Pe non parlar poi di E = mc², e il fatto che "tutto ciò che è massa è anche energia" (lo metto virgolettato perché non è vero), e quindi a questo punto anche noi saremmo energia, cosa che scatena i pensieri più selvaggi e inconfessati del popolo della rete.

 

In realtà, consapevole di suscitare il disappunto di molti, in particolare di quelli che credono che la teoria della relatività ristretta sia una teoria estrema e arditissima, e quindi potenzialmente sbagliata (ma loro lo hanno scoperto!) la Teoria della Relatività Ristretta, a livello concettuale, è di una semplicità estrema, e segue un filo logico molto stringato e estremamente comprensibile. E di questo voglio parlarvi, a costo di smantellare l'aura di misticismo che tanti vedono attorno ad essa.

Sto parlando, lo sottolineo, della Teoria della Relatività Ristretta. La Teoria della Relatività Generale è un'altra cosa, e in quel caso il genio di Einstein ha veramente dato il massimo. Infatti, mentre la Teoria della Relatività Ristretta era comunque nell'aria già alla fine dell'800, e Einstein ha avuto il merito di tirare le fila di una serie di osservazioni già ben note, ma di cui nessuno aveva ancora compreso il vero impatto dal punto di vista fisico, per avere la Relatività Generale, che è sostanzialmente una nuova descrizione della gravitazione, senza Einstein probabilmente avremmo dovuto aspettare ancora un bel po'.

Se mi dovessero chiedere di definire la Teoria della Relatività Ristretta, quindi, non risponderei che è la teoria che prevede che il tempo bla bla... e le lunghezze bla bla... e l'equivalenza fra massa e energia ... bla bla ... e i gemelli bla bla. Niente di tutto questo: la teoria della relatività ristretta è l'estensione del principio di relatività a tutti i fenomeni fisici, sia meccanici che elettromagnetici. Tutto il resto, tutte le stranezze che turbano il sonno degli scienziati fai-da-te, sono le ovvie conseguenze di questo aspetto. Sottolineo ovvie.

Il principio di relatività è il fatto - sperimentalmente noto a tutti anche senza sapere nulla di fisica - che le leggi della natura sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento che si muovono fra loro di moto rettilineo e uniforme. I cosiddetti sistemi di riferimento inerziali. In pratica tutti i sistemi di riferimento non sottoposti ad accelerazioni. Vedremo fra poco perché questo principio è inconsciamente noto a tutti, anche a chi odia la fisica.

Quindi, essendo le leggi fisiche le stesse in tutti questi particolari sistemi di riferimento, non esiste alcun tipo di esperimento in grado di mostrare se un sistema di riferimento inerziale sia in moto assoluto. Mangiare un gelato, ascoltare la radio, fare le capriole, guardare un film, respirare, scrivere, dormire, attirare pezzetti di ferro con la calamita, tutto avviene sempre allo stesso modo in qualunque sistema di riferimento inerziale, e non possiamo usare nessun processo fisico noto per dire se siamo fermi o in moto, tanto che la domanda stessa perde di significato. I sistemi di riferimento inerziali sono tutti perfettamente equivalenti, e la fisica non è in grado di distinguerli.

Questo aspetto è, come dicevo, qualcosa che tutti conosciamo bene. Quando siamo in aereo e ci muoviamo a 800 Km/h, una mosca intrappolata in cabina vola come volerebbe a casa nostra, l'acqua ha lo stesso sapore che se la beviamo al bar dell'aeroporto, e l'arrosto che ci danno sull'aereo farebbe ugualmente schifo anche mangiato al terminal nella zona imbarchi. Tutto si comporta allo stesso modo, sia sull'aereo in volo che a casa sul divano, e se non fosse per lo sballottamento dell'aereo (cioè le accelerazioni, ovvero le situazioni in cui l'aereo non si muove esattamente di moto rettilineo e uniforme, ma cambia di velocità) non potremmo dire se ci stiamo muovendo o stiamo fermi.

Avete poi presente quando siete fermi in stazione sul treno, e con la coda dell'occhio vedete il treno di fianco muoversi, e per un istante, finché non percepite qualche scossone (di nuovo, un'accelerazione!) non sapete dire se è il vostro treno a muoversi, o quello accanto? Ecco, in quel momento state sperimentando il Principio di Relatività. In quel momento non avete alcun modo per dire se siete voi a muovervi, o il treno accanto a voi. Niente vi viene in aiuto, perché effettivamente non cambierebbe niente, in nessuno dei due casi. E' solo in presenza di accelerazioni, che potete dare una risposta. Ovvero quando il vostro sistema di riferimento smette di essere un sistema di riferimento inerziale. Oppure, più banalmente, guardando la pensilina, che però soltanto per questioni di convenzione considerate essere ferma.

Questa cosa l'aveva già capita Galileo ai suoi tempi, e l'aveva chiamata il Principio di Relatività: le leggi della fisica sono le stesse in qualunque sistema di riferimento inerziale. E quindi anche le formule delle leggi fisiche devono essere le stesse in qualunque sistema di riferimento inerziale.

Questa invarianza, dal punto di vista matematico, è garantita dalle trasformazioni matematiche che mettono in relazione le coordinate spaziali e temporali di due sistemi di riferimento inerziali in moto relativo fra loro, e che prendono il nome di Trasformazioni di Galileo. Ad esempio la seconda legge di Newton, la famosa F=ma, non cambia di espressione se usiamo le trasformazioni di Galileo per esprimerla in un altro sistema di rifermento inerziale.

Una conseguenza ovvia e banale delle trasformazioni di Galileo è che se tizio si trova su un sistema di riferimento che si muove con velocità v rispetto al vostro (ad esempio è su un tapis roulant di quelli che ci sono negli aeroporti), e in aggiunta cammina sul tapis roulant con velocità u perché ha fretta, a quel punto voi, da fuori, lo vedete muoversi con velocità v + u. In altri termini le velocità fra due sistemi di riferimento inerziali si sommano o sottraggono a seconda del moto relativo dei due sistemi di riferimento. Ad esempio quando sorpasso una macchina che va a 120 in autostrada, mentre la sorpasso e ci passo accanto andando a 130 (sul blog rispetto sempre i limiti di legge), la vedrò di fatto retrocedere con una velocità di -10 Km/h. Molto ovvio e banale, insomma.

Però ai tempi di Galileo le leggi fisiche note erano solo quelle della meccanica: molle, piani inclinati, catapulte, etc. L'elettromagnetismo non era stato ancora scoperto, anche se il corpo umano è da solo una continua applicazione delle leggi dell'elettromagnetismo. Ma questa cosa non la sapevano ancora.

Alla fine dell'800 James Clerk Maxwell riassume le leggi dell'elettromagnetismo in 4 espressioni matematiche, che prendono il nome di Equazioni di Maxwell. Tutti i fenomeni elettromagnetici sono in quelle 4 formule, compresa la luce.

Perfetto, allora possiamo supporre che anche i fenomeni elettromagnetici rispettino il principio di relatività. In fin dei conti dicevamo che noi umani, con tutti i processi fisici e chimici che avvengono nel nostro corpo, siamo un laboratorio di elettromagnetismo che funziona full time, e se le leggi dell'elettromagnetismo fossero diverse in casa, su un treno, o su un pianeta che si muove di 30 Km/s attorno al sole, ce ne saremmo accorti! Quindi che il principio di relatività valga anche per le leggi dell'elettromagnetismo è un po' più di una semplice supposizione...

Però c'è un problema. Nelle equazioni di Maxwell - quelle leggi che hanno la pretesa di riassumere tutti i fenomeni elettromagnetici, e quindi valere ovunque, in qualunque sistema inerziale - compare un termine che ha le dimensioni di una velocità. E' la velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto: la velocità della luce.

E qui non ci vuole un genio per capire che c'è qualcosa che non va. Perché se pretendiamo che delle leggi che contengono al loro interno una velocità restino inalterate e valgano sempre in qualunque sistema di riferimento inerziale, perdiamo in partenza, perché una velocità non può restare la stessa in sistemi di riferimento inerziali diversi, in moto relativo fra loro. Ricordate il tapis roulant?

Quindi le equazioni di Maxwell non possono restare uguali passando da un sistema di riferimento inerziale a un altro, con quella velocità tra le scatole!

Ma attenzione: questo avviene se si assume che le trasformazioni che mettono in relazione le coordinate spaziali e temporali fra due sistemi di riferimento inerziali siano le trasformazioni di Galileo. Quelle trasformazioni di coordinate che rendono le leggi della meccanica identiche passando da un sistema inerziale a un altro, e che come sottoprodotto danno il fatto che le velocità si sommano o sottraggono, se confrontate fra sistemi di riferimento diversi.

Allora chiediamoci: quali trasformazioni di coordinate renderebbero invarianti le equazioni di Maxwell nella forma, nella loro espressione matematica, passando da un sistema di riferimento inerziale a un altro?

E' un esercizio di matematica (lo imparai a Fisica 1), e il risultato è un nuovo set di trasformazioni di coordinate, che prendono il nome di trasformazioni di Lorentz.

Le trasformazioni di Lorentz hanno un'espressione un po' strana. Contengono dei termini che perdono di significato matematico quando la velocità di un sistema di riferimento rispetto all'altro diventa uguale alla velocità della luce. Segno che quando ci si avvicina alla velocità della luce possono succedere cose a cui normalmente non siamo abituati.

Però, se la velocità in gioco è piccola rispetto alla velocità della luce, esse ci ridanno le famose trasformazioni di Galileo. Sono diverse quando le velocità in gioco sono prossime alla velocità della luce, ma sono praticamente indistinguibili dalle vecchie trasformazioni di Galileo quando le velocità sono piccole rispetto alla velocità della luce c, che è costante in qualunque sistema di riferimento. Se così non fosse, le equazioni di Maxwell, che contengono al loro interno la velocità della luce, varrebbero solo in uno specifico sistema di riferimento, e potremmo usare esperimenti di elettromagnetismo per determinare il sistema di riferimento prescelto in cui le leggi dell'elettromagnetismo sono quelle scritte sui libri. Michelson e Morley, e molti altri dopo di loro, ci hanno provato, ma i loro esperimenti hanno sempre miseramente fallito nell'intento.

Le Trasformazioni di Lorentz sono quindi le trasformazioni di coordinate che cercavamo: quelle che preservano l'invarianza delle leggi dell'elettromagnetismo in qualunque sistema di rifermento inerziale, qualunque sia il valore delle velocità in gioco.

E ovviamente anche la legge di somma delle velocità che si ottiene dalle trasformazioni di Lorentz è diversa da quella di Galileo. Se le velocità sono prossime alla velocità della luce, scopriamo che se corriamo dietro a un raggio di luce, questo ci apparirà correre comunque alla velocità della luce, per quanto noi lo inseguiamo velocemente. La velocità della luce non si lasca sommare o sottrarre con nessuna altra velocità. Le equazioni di Maxwell restano sempre uguali.

Però, se la velocità in gioco sono piccole rispetto alla velocità della luce, ecco che la nuova formula approssima perfettamente la legge di somma delle velocità che tutti conosciamo, come ce l'aveva insegnata Galileo.

Tutto risolto, quindi?

Manca ancora qualcosa, in realtà. Se applichiamo le trasformazioni di Lorentz alle leggi della meccanica (F=ma, p=mv, quella roba lì, per capirci), queste cambiano di espressione matematica, cambiano di forma passando da un sistema inerziale a un altro. E quindi violerebbero il principio di relatività, ovvero avremmo un modo per dire, utilizzando le leggi della meccanica, se ci stiamo muovendo o siamo fermi, e saremmo daccapo. D'altra parte lo sapevamo già che sono le trasformazioni di Galileo a rendere invarianti le formule delle leggi della meccanica.

E allora?

E allora è semplice (si fa per dire). Basta solo avere il coraggio per dire che allora le leggi della meccanica, quelle che conoscevano Newton e Galileo, non sono quelle corrette! E quindi troviamo come dovrebbero essere le leggi della meccanica, in modo da restare uguali passando da un sistema inerziale a un altro non secondo le vecchie trasformazioni di Galileo, ma secondo le nuove trasformazioni di Lorentz. Quelle che vengono fuori, ancora una volta, sono molto diverse se le velocità in gioco sono prossime a quelle della luce, ma diventano uguali a quelle già note, quando la velocità in gioco è piccola rispetto alla velocità della luce. Non ce ne eravamo mai accorti, perché tutte le cose che facciamo in meccanica sono sempre a basse velocità rispetto alla velocità della luce. E' solo con la scoperta dell'elettromagnetismo che il problema è saltato fuori, perché l'elettromagnetismo è un tutt'uno con la luce!

Questa è la Teoria della Relatività Ristretta.

Tutto il resto, la storia dei gemelli, E = mc², le lunghezze che si contraggono, gli orologi che vanno lenti, etc, sono conseguenze di tutto questo e vengono fuori pari pari dal fatto che le trasformazioni corrette che mettono in relazione due sistemi di riferimento inerziali sono le trasformazioni di Lorentz, e non le "vecchie" trasformazioni di Galileo, che però vanno benissimo quando le velocità in gioco sono piccole rispetto alla velocità della luce (ed è per questo che non ci eravamo mai accorti che non erano quelle giuste!).

Alcuni credono che la Teoria della Relatività sia una complicazione aggiunta da Einstein alle leggi della fisica. Credono, costoro, che senza questa complicazione, che essi reputano sbagliata, tutto sarebbe molto più semplice. Se invece avessero capito che cos'è realmente la teoria della Relatività, si accorgerebbero che essa è invece una meravgliosa sintesi, una semplificazione delle leggi della natura. Altrimenti avremmo dovuto scrivere tanti libri di fisica, ognuno valido per ogni specifico sistema di riferimento inerziale. Una complicazione non da poco, e poi ti voglio vedere a prendere 6 all'interrogazione!