Risposta (scientifica) del perché la fetta cade sempre dalla parte della marmellata

Finalmente svelato l'ultimo grande enigma della natura!

E' capitato a tutti. Stai spalmando la Nutella sulla fetta di pane, hai deposto con cura uno strato bello denso e uniforme, pregusti il momento in cui la addenterai, ma ecco che basta una piccola distrazione che le dita perdono la presa e la fetta cade e si spatacca sulla tovaglia, o peggio per terra, dalla parte sbagliata. Inevitabilmente, sempre dalla parte sbagliata!

Sembra una congiura, un momento che la sfiga aspetta per manifestare la sua esistenza, la glorificazione della legge di Murphy. Una di quelle cose che dici "ma possibile che mai una volta, almeno una, non cada dal verso giusto? Possibile che vada sempre a finire così?". Perché ingenuamente uno potrebbe pensare che le probabilità che la fetta cada a pancia sopra o a pancia sotto siano 50 e 50, come per il lancio di una moneta, e quindi se cade sempre dalla parte sbagliata sia solo una questione di sfiga. E invece...

Innanzitutto sgomberiamo subito il campo da possibili dubbi: non è colpa dell'olio di palma contenuto nella Nutella. Test effettuati sul campo mostrano che il fenomeno si ripete identico anche con le varianti della Nutella senza olio di palma, e anche con la marmellata, il burro, il paté di olive, etc. Non solo, ma avviene anche senza niente! Una fetta di pane, come se sapesse che deve assolvere al suo compito perverso di farti incazzare di prima mattina, se ti sfugge di mano, anche se non ci hai spalmato niente sopra, si gira e cade sempre dalla parte sbagliata.

In rete si trova un divertente video che associa il potere della fetta di pane imburrata di cadere sempre dal lato imburrato, con la capacità dei gatti di cadere sempre sulle zampe. Il risultato è un sistema per produrre energia illimitata. Si prende un gatto, gli si lega una fetta spalmata di qualcosa sulla schiena e lo si lascia cadere tenendolo per le zampe. Il gatto vorrà girarsi per cadere di zampe, ma la fetta vorrà cadere dal lato spalmato obbligando il gatto a cadere di schiena. Il risultato è che il sistema gatto-fetta si metterà a ruotare vorticosamente senza cadere, incapace di prendere una decisione. A questo punto un bravo ingegnere saprà certamente sfruttare questo inaspettato regalo della natura per risolvere finalmente in modo definitivo il problema energetico mondiale. Il video è visionabile qui. 

Allora cerchiamo di capire perché una fetta di pane cade sempre dalla parte sbagliata. Mi scuso se ogni tanto scenderò sul tecnico con qualche formula. Spero che risulterà sufficientemente indolore. Il risultato sarà comunque la soluzione a un mistero sul quale nemmeno Hawking ha mai osato cimentarsi. Infatti avete mai visto libri di Hawking sul mistero delle fette che cadono sempre dalla parte spalmata? Ha scritto su tutto, sul tempo, sui buchi neri, sul big bang, ma sul pane imburrato mai. Un motivo ci sarà!

La premessa doverosa è che in quello che segue occorre fare delle assunzioni, delle semplificazioni  e delle schematizzazioni del problema. A questo punto prevedo che qualcuno molto più nerd di me potrà storcere il naso, e salterà fuori dicendo "eh, ma non hai considerato questo e quello, l'attrito dell'aria, l'attrito delle dita, la forma della fetta di pane, l'impulso del coltello, la marca della marmellata etc etc". In problemi del genere si possono aggiungere tutte le complicazioni possibili, e in rete si trovano risposte a questo problema che mostrano che la nerdità di certi esseri umani può raggiungere livelli decisamente patologici. Ricordo però che qualunque calcolo scientifico, qualunque previsione teorica, in qualunque campo, si basa SEMPRE su assunzioni, schematizzazioni e semplificazioni del problema. La natura è troppo complicata per pensare di risolvere in modo rigorosamente esatto i problemi reali. D'altra parte se Galileo non avesse ragionato in questo modo starebbe ancora lì a trappolare con le sferette e i piani inclinati chiedendosi come mai la pallina di legno di quercia cadeva un filo diversa da quella di acero. L'importante è che le schematizzazioni tengano conto dei fattori rilevanti.

Innanzitutto, il fatto che la fetta cada dalla parte sbagliata (intesa come la parte su cui spalmeremmo la marmellata)  anche se non c'è niente di spalmato, ci dice che l'effetto non è dovuto al sottile strato di marmellata o che altro che rende asimmetrica la fetta. Si potrebbe pensare che questo sposterebbe il baricentro della fetta verso il lato spalmato, creando un'asimmetria che faciliterebbe la caduta da quel lato, come quei fermacarte che hanno il peso verso la base, per cui comunque li fai oscillare ritornano verticali. Ma nel caso della fetta l'effetto è, anche alla luce dei fatti, talmente piccolo da essere del tutto trascurabile.

Altro punto cruciale è che la fetta, se abbiamo cura di lasciarla cadere di piatto, cade effettivamente di piatto. Non si gira da sola violando le leggi della fisica. Sarebbe stata una scoperta fantastica, ma dobbiamo farcene una ragione: anche una fetta di pane segue le leggi della natura come tutto il resto. 

 

Quindi affinché la fetta di pane ruoti e cada dalla parte sbagliata facendoci prorompere in gioiose esclamazioni, è necessario che ad essa si impartisca inizialmente un momento della forza, in modo da farle acquisire un momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) che la farà ruotare.

A questo punto il nocciolo del problema è stimare la velocità di rotazione che può acquisire la fetta mentre ci sfugge di mano, e confrontare quanto tempo impiega la fetta a cadere sul piano sottostante (tavolo o pavimento) rispetto al tempo che impiega a fare mezzo giro. Il punto è tutto qui. Bisogna stimare quanti giri fa la fetta mentre cade, per capire come cade, se di pancia o di schiena. Se cade sempre di pancia potrebbe voler dire che nell'intervallo di altezze da cui una fetta imburrata può ragionevolmente cadere mentre ci accingiamo a mangiarla (da 20 cm a 1 m, grosso modo) non c'è modo per la fetta di girarsi in tempo, data la sua possibile velocità di rotazione iniziale. Vogliamo vedere se questa ipotesi ha senso.

E come fa una fetta ad acquisire momento angolare e mettersi a ruotare? E' semplice: questo avviene perché quando ci sfugge di mano noi la stiamo tenendo da un lato, e dall'altro stiamo spingendo col coltello per spalmare la marmellata. Se la nostra presa con le dita non è ben salda, la forza di gravità fa ruotare la fetta sull'asse che unisce le nostre dita, creando un momento della forza. Il risultato è che la fetta acquisisce una velocità angolare che prima non aveva, ovvero acquisisce momento angolare. 

Il problema si schematizza come nel disegno qua sotto.

La forza peso, di modulo F=mg (m è la massa della fetta, g è l'accelerazione di gravità, 9.8 m/s**2), che possiamo pensare applicata al baricentro della fetta, fa ruotare la fetta di pane che possiamo immaginare imperniata sulle dita della mano a uno dei suoi estremi, imprimendo una velocità angolare alla fetta stessa. Siccome abbiamo assunto una fetta di pane quadrata, L è metà del lato della fetta stessa. Supponiamo, per fissare le idee, che la fetta ruoti per 30 gradi e poi ci sfugga di mano.

Per calcolare la frequenza di rotazione della fetta possiamo usare la conservazione dell'energia. Infatti l'energia potenziale iniziale della fetta, pari a U(pot)=mgL*0.5 (0.5 viene dal fatto che la fetta ruota solo per 30 gradi, essendo sen30=0.5), si trasforma in energia cinetica di rotazione, che vale E(rot) = 0.5*I*w**2.

Il termine I è il momento di inerzia della fetta di pane rispetto all'asse di rotazione, mentre w (leggi "omega") è la sua velocità angolare, che vale 2*pigreco/T, dove T è il tempo necessario per fare una rotazione completa. E' fisica da liceo. Il momento di inerzia è una grandezza che sostanzialmente descrive la distribuzione delle masse dell'oggetto che vogliamo far ruotare, rispetto all'asse di rotazione. Ad esempio quando una pattinatrice che fa la piroetta a braccia allargate raccoglie le braccia al petto, riduce il suo momento di inerzia (avvicina le masse all'asse di rotazione), e di conseguenza, per la conservazione del momento angolare (che vale I*w), ruota più velocemente. Nel caso della fetta di pane potremmo prendere la formula esatta del momento di inerzia per un parallelepipedo con due lati uguali e un terzo (lo spessore) più sottile per fare le cose precise, ma per semplificare possiamo assumere che la massa della fetta sia  tutta concentrata nel baricentro, e in questo caso il momento di inerzia vale I=m*L**2. Se facessimo i calcoli precisi verrebbe un momento di inerzia un po' diverso, ma il risultato, per quello che riguarda il nostro calcolo, sarebbe marginale. Tutti i calcoli supernerd che si trovano in rete differiscono alla fine di pochissimo dal calcolo "on the back of an envelope" che stiamo facendo.

Quindi mettiamo adesso un po' di numeri e calcoliamoci omega. La massa della fetta possiamo ignorarla, perché tanto alla fine m si semplifica via, e il risultato ne è indipendente. Supponiamo invece che la fetta sia lunga 10 cm, ovvero L=5 cm = 0.05m. Mettiamo tutto nella formula che ci da omega, mettiamo il giusto valore per l'accelerazione di gravità g, e viene fuori che w è circa 14 radianti al secondo, ovvero un giro completo in 2*pigreco/w secondi, cioè 45 centesimi di secondo.

A questo punto, quando la fetta è inclinata supponiamo a 30 gradi rispetto all'orizzontale, cioè ha compiuto un dodicesimo di giro a causa della rotazione imposta dal momento della forza, la fetta ci cade di mano. E' una schematizzazione, si può pensare che la fetta cada di mano un po' prima o un po' dopo, ma alla fine non cambia poi molto.

Quindi abbiamo in questo istante una fetta che sta ruotando con velocità angolare w di circa 14 radianti al secondo, che ha già effettuato un dodicesimo di giro, e che adesso inizia a cadere per effetto della forza di gravità, continuando ovviamente a ruotare, perché il momento angolare che ha acquisito a questo punto non glielo toglie più nessuno (stiamo trascurando l'attrito dell'aria).

Quello che ci interessa calcolare è quanto tempo ci mette la fetta per arrivare a terra, o comunque alla superficie sottostante, e confrontare questo tempo con la sua frequenza di rotazione, per vedere se in questo tempo essa si presenterà a faccia in su o a faccia in giù.

Il problema è tutto qui. Vedere se la fetta riesce a ruotare a sufficienza in modo da cadere con la parte imburrata rivolta verso l'alto prima di impattare con la superficie che le sta sotto, evitando di scatenare in noi uno spontaneo istinto verso il turpiloquio improvviso.

Ma quanto tempo impiega una fetta a cadere, se lasciata libera? Facile: la fetta cade per effetto della forza di gravità di moto uniformemente accelerato, e la legge oraria del moto uniformemente accelerato per un corpo che parte da fermo ci dice che in un tempo t l'oggetto percorre in caduta uno spazio s pari a s=0.5*g*t**2. Unmezzo-gi-tiquadro.

E quindi il tempo di caduta vale t = sqrt(2s/g) (sqrt è la radice quadrata).  Il tempo impiegato per cadere cresce con la radice quadrata dello spazio percorso. Quindi- importantissimo questo - a causa di quella radice quadrata il tempo impiegato a cadere aumenta lentamente rispetto allo spazio percorso! Ad esempio se lo spazio fra le nostre mani e il tavolo è di 30 cm (uno spazio ragionevole), la fetta cade in meno di 25 centesimi di secondo. Ma se invece di avere il tavolo sotto di me ho il pavimento, quindi diciamo un metro di caduta, il tempo impiegato dalla fetta per cadere non è il triplo, ma soltanto 45 centesimi di secondo. Se fossimo in cima a una scala, a due metri da terra, il tempo di caduta sarebbe solo 60 centesimi di secondo. Il motivo è ovviamente che mentre cade la fetta accelera, cioè aumenta la sua velocità.

A questo punto confrontiamo i tempi di caduta con la velocità con cui ruota la fetta. Siccome la fetta fa un giro completo in 45 centesimi di secondo, vuol dire che entro grosso modo 10 centesimi di secondo da quando ci è sfuggita di mano essa si trova già in posizione verticale. Da li in poi, fino a che non avrà compiuto un altro mezzo giro, essa si troverà con la marmellata rivolta verso il basso. In meno di 10 centesimi di secondo il baricentro della fetta è caduto di appena 5 cm. Questo vuol dire che se la fetta ci sfugge di mano anche solo appena sopra il tavolo, siamo certi che cadrà comunque dalla parte sbagliata! E abbiamo visto che la fetta continuerà ad essere dalla parte sbagliata per un altro mezzo giro, ovvero altri 30 centesimi di secondo, cioè circa 40 centesimi di secondo da quando ci è sfuggita di mano.  In questo tempo la  fetta percorrerà, cadendo, quasi 80 cm, che è grosso modo la distanza che c'è fra tavolo e pavimento. Se poi ci aggiungiamo un leggero frenamento iniziale della rotazione dovuto alla resistenza delle nostre dita mentre la fetta inizia a ruotare, avremmo un valore di omega inferiore a quello che abbiamo calcolato assumendo che non ci fosse attrito, e quindi un periodo di rotazione maggiore, con conseguente aumento della distanza di caduta lungo la quale la fetta con certezza cadrà dalla parte sbagliata.

Conclusioni, per chi si dovesse essere perso fra i vari numeri: se la fetta cade sempre dalla parte della marmellata non è per sfiga, ma perché la fetta di pane segue, come tutto il resto, le leggi della fisica. Queste leggi ci dicono che, quando la fetta ci sfugge di mano ruotando su se stessa, essa non avrà tempo a sufficienza per girarsi in modo da cadere a pancia all'aria, se la superficie che le sta sotto è distante da pochi centimetri ad almeno un metro. Ovvero proprio la distanza che separa la fetta dal tavolo o dal pavimento. E quindi la nostra fetta non può far altro che cadere con la parte spalmata verso il basso. E se lungo il suo percorso di caduta dovesse trovarsi il nostro pantalone, il risultato potrebbe trasformarsi in un tripudio di escalamzioni inusuali.

Se stessimo in piedi forse avremmo maggiori possibilità di cavarcela, ma meglio ancora sarebbe in cima a una scala, con le braccia sollevate verso il soffitto. Che è poi il modo in cui fanno colazione i nerd della fisica! L'alternativa - che consiglio caldamente - è quella di spalmare la nutella tenendo la fetta rivolta verso il basso. Certo, è un po' scomodo, e all'inizio richiede un po' di pratica, ma se la fetta dovesse sfuggirci di mano, cadrebbe in quel caso con la parte spalmata rivolta verso l'alto, e cominciare la giornata in questo modo sono soddisfazioni!