lunedì 22 febbraio 2021

L'incostante di struttura fine, e altre costanti poco costanti.

Quello che segue vuole mostrare quanto la natura possa essere complessa e lontana dal senso comune quando andiamo a considerare fenomeni che avvengono su scala estremamente piccola. Il pretesto è un problema all'apparenza molto semplice: misurare la carica elettrica di un elettrone.

Ovviamente dal punto di vista strettamente sperimentale la cosa può essere decisamente complicata, ma la premessa è che non ci preoccuperemo degli aspetti tecnico-pratici, che certamente hanno un ruolo importante se si vuole effettuare questa misura, ma analizzeremo la questione dal punto di vista strettamente concettuale. 


Idealmente, per misurare la carica dell'elettrone, potremmo prendere due elettroni, metterli a una certa distanza nello spazio, e misurare la forza che li spinge ad allontanarsi fra loro. Questo è un semplice problema di elettrostatica, al quale applicheremo la legge di Coulomb: nota la distanza, e misurata la forza che agisce fra le due cariche, ricaveremo il valore della carica elettrica delle due particelle.

Uno potrebbe obiettare che è difficile tenere fermi due elettroni e misurarne la forza, anche senza scomodare il principio di indeterminazione, per cui, più concretamente, potremmo porre un certo numero di elettroni su un elettrodo di un condensatore,  e misurare la tensione risultante. Il valore che ricaveremmo è quello che si trova sui libri per la carica dell'elettrone: q = 1.60217662 × 10-19C (C=Coulombs, l'unità di misura della carica elettrica). Questo numero, se elevato al quadrato e diviso per ħ (la costante di Planck diviso 2 pigreco) e la velocità della luce c, è una quantità adimensionale (è un numero puro, senza unità di misura) che vale circa 1/137. Si chiama costante di struttura fine, e è una delle costanti fondamentali della Natura.

La costante di Struttura Fine: e è la carica dell'elettrone, h tagliato è la costante di Planck divisa per 2 pigreco, c è la velocità della luce. Il suo valore è circa 1 su 137.

Quella che abbiamo appena descritto è una misura di tipo statico: gli elettroni stanno fermi, o al massimo si agitano un po' sugli elettrodi del condensatore.

Però potremmo agire in un altro modo. Potremo prendere un elettrone, e spararlo contro un altro elettrone, oppure sparare due elettroni uno contro l'altro, che alla fine è poi la stessa cosa. Gli elettroni, avvicinandosi, si respingeranno a vicenda, modificando la loro traiettoria, e verranno deflessi. Il modo in cui verranno deflessi, che è calcolabile, dipende dalla loro carica elettrica e dal parametro di impatto, cioè in sostanza da quanto al massimo si possono avvicinare reciprocamente, avendo cercato di prendere bene la mira. 

Questo modo di misurare la carica dell'elettrone, diverso dal precedente dal punto di vista del metodo, è di tipo dinamico: risaliamo cioè al valore della carica dell'elettrone in base a come i due elettroni si muovono mentre si respingono fra loro, misurando come le loro traiettorie vengono deflesse se li lanciamo uno contro l'altro. 

Però i risultati dovrebbero essere identici. E infatti lo sono: l'urto ci mostra un comportamento che è il risultato della legge di Coulomb per due elettroni in movimento. I due elettroni si respingono mentre si avvicinano, interagendo fra loro secondo una legge che varia con l'inverso del quadrato della loro distanza. Le loro traiettorie sono il risultato di questo tipo di interazione, e dallo studio delle loro traiettorie possiamo ricavare il valore delle loro cariche elettriche. E il risultato, per il valore della carica dell'elettrone, è sempre lo stesso.

Adesso però cerchiamo di sparare i due elettroni uno contro l'altro cercando di prendere bene la mira, e dando loro un grande impulso, in modo che si avvicinino il più possibile, cercando di vincere la loro repulsione elettrica. E cerchiamo di farlo aumentando ogni volta sempre di più il loro impulso.

Se facciamo questo, succedono cose strane. Il modo in cui i due elettroni si comportano se prendiamo molto bene la mira, e conferiamo loro un grande impulso, è tale che la carica elettrica dell'elettrone, che ricaviamo dalle traiettorie degli elettroni durante l'urto, sembra aumentare al crescere dell'impulso che si scambiano i due elettroni. Il valore della costante di struttura fine che misuriamo, in pratica, cresce con il crescere dell'energia dell'urto con cui cerchiamo di misurarlo.

La domanda a questo punto è: come è possibile che una quantità che è il prodotto di costanti fondamentali della natura, non sia affatto costante? Cosa succede alla carica dell'elettrone? Come può essa variare a seconda dell'impulso scambiato dai due elettroni durante l'urto?

Ce lo spiega l'elettrodinamica quantistica e la teoria dei campi quantistici. Calmi, niente panico!

Per capire cosa succede, vediamo che cosa implichi aumentare l'impulso dei due elettroni che vanno a interagire reciprocamente. Aumentare l'impulso vuol dire diminuire di conseguenza la lunghezza d'onda di De Broglie dell'elettrone: maggiore è l'impulso di una particella, minore è la sua lunghezza d'onda associata. Questo permette in pratica agli elettroni di "scrutarsi" reciprocamente con maggiore risoluzione. 

D'altra parte è così che funziona un microscopio elettronico: se vogliamo vedere qualcosa di molto piccolo, invece di usare un fascio di luce, la cui lunghezza d'onda è troppo grande per "vedere", ad esempio, la struttura di un cristallo, si usa un microscopio elettronico, nel quale al posto della luce, per illuminare l'oggetto che voglio studiare, uso un fascio di elettroni opportunamente accelerato.

Quando questo fascio di elettroni interagisce con l'oggetto da studiare, la sua lunghezza d'onda, determinata dosando l'impulso del fascio di elettroni in modo da essere sufficiente piccola, è capace di "vedere" i dettagli dell'oggetto che ci interessano. In pratica l'interazione dell'elettrone avviene con i dettagli dell'oggetto posti sul "vetrino", e questi dettagli sono tanto più piccoli tanto maggiore è l'impulso degli elettroni. Questo ci permette di vedere, tramite un microscopio elettronico, dettagli altrimenti invisibili con un normale microscopio ottico, che cioè sfrutta la luce per illuminare ciò che vogliamo vedere, e che quindi non potrà mai mostrarci dettagli più piccoli della lunghezza d'onda della luce visibile, non importa quanto siano buone le lenti.

Quindi, quando lanciamo un elettrone contro l'altro, ad esempio in un acceleratore di particelle, i due elettroni, grazie alla loro piccola lunghezza d'onda di De Broglie, che è tanto più piccola tanto maggiore è il loro impulso, si "scrutano" da molto vicino, e sono capaci di vedere cose che, ad elettroni che si avvicinano con un basso impulso reciproco, risulterebbero invisibili.

E sebbene - per quanto ne sappiamo - gli elettroni non abbiano una struttura interna (nel senso che gli esperimento fatti finora non hanno mai evidenziato che gli elettroni siano composti di sottostrutture) quando si scrutano così in dettaglio si accorgono che lo spazio attorno ad essi, a risoluzioni spaziali così estreme, è tutt'altro che vuoto, ma appare come polarizzato dalla loro presenza, ovvero dalle loro cariche elettriche, come se fosse un dielettrico. Questa polarizzazione si manifesta circondando i due elettroni di una moltitudine di coppie elettrone-positrone (il positrone è l'antiparticella dell'elettrone). Aumentando l'impulso degli elettroni, riusciamo però a penetrare dentro questa nube, che dall'esterno funge da parziale schermo alla "vera" carica dell'elettrone. 

E il risultato è che la carica di un elettrone ci appare variare con l'impulso dell'elettrone sonda con cui lo studiamo. Se ad esempio misuriamo la carica dell'elettrone con elettroni dall'energia di 100 GeV o più, come accade nei moderni acceleratori, tipo il LEP del Cern, che ha raccolto dati nell'ultimo decennio del secolo scorso, la costante di struttura fine passa da 1/137 dei libri, a circa 1/128. 

Ci tengo a sottolineare che il fenomeno della polarizzazione del vuoto, sebbene possa sembrare fantascientifico, è così ben descritto dall'elettrodinamica quantistica che le previsioni teoriche delle quantità osservabili combaciano con le misure sperimentali con precisioni altissime, tanto da rappresentare le misure più precise in assoluto in fisica. Nessun altra misura in fisica, di nessun tipo, può vantare un confronto teoria-esperimento così perfetto.


L'evoluzione dell'inverso della costante di struttura fine in funzione del quadri-impulso trasferito nell'urto. La linea continua è la previsione teorica secondo l'elettrodinamica quantistica (QED).

Un effetto simile accade anche con la costante di accoppiamento delle interazioni nucleari forti. In questo caso, però, l'effetto è opposto. L'interazione fra due quark è infatti "forte" a distanze "grandi" (in questo caso "grandi" sono le distanze tipiche dei protoni dentro un nucleo), cosa che impedisce di riuscire a strappare un quark dall'interno di un protone, perché allontanandolo dagli altri quark la forza che li tiene assieme diventa enorme. Però, se aumentiamo l'energia a cui facciamo scontrare due protoni, la forza nucleare forte diventa man mano più debole, e i quark si comportano come se fossero quasi liberi, ovvero la costante di accoppiamento della forza nucleare forte diminuisce. Questa condizione estrema della materia, che ha caratterizzato una breve fase nell'evoluzione dell'universo primordiale, è stata riprodotta agli acceleratori di particelle come LHC del Cern, in particolare in urti ad altissima energia fra singoli nuclei di piombo, e si chiama "quark-gluon plasma". In queste condizioni in cui una grande energia è concentrata in una zona delle dimensioni di due nuclei atomici di Piombo, per un breve istante i quark e i loro collanti, che si chiamano gluoni, vagano liberi, capaci di percorrere distanze molto maggiori (anche se pur sempre infinitesime) rispetto a ciò che è loro normalmente concesso. 

L'evoluzione della costante di accoppiamento della forza nucleare forte è visualizzata nel grafico qua sotto, dove sono riportate le misure effettuate a energie via via crescenti.


La costante delle interazioni forti, al contrario della costante di struttura fine, decresce con l'energia degli urti.

Il comportamento delle interazioni nucleari forti che rende impossibile separare due quark da renderli liberi nel vuoto, si vede bene in urti osservati agli acceleratori di particelle, come quello in figura qua sotto. Nell'urto fra un elettrone e un positrone viene "creata" una coppia quark-antiquark, che si separa con grande impulso non appena prodotta. Quando il quark e l'antiquark raggiungono distanze tipiche di un decimo di miliardesimo di centimetro, (1 fm, la dimensione tipica di un protone), la forza nucleare forte, debole a distanze inferiori, diventa così intensa da impedire loro di allontanarsi ulteriormente. E' un po' come un elastico che si tende, per fare una analogia: quando i capi dell'elastico sono vicini possiamo muoverli come vogliamo, ma se cerchiamo di allontanarli troppo, l'elastico accumula energia e ci impedisce di andare oltre. A quel punto l'energia accumulata fra i due quark è così grande da "spezzare l'elastico" e materializzarsi in tante coppie di quark-antiquark formate da tutta questa energia concentrata lungo la direzione del moto dei quark iniziali. Questi quark si appiccicano immediatamente fra di loro, formando decine di particelle, che si manifestano macroscopicamente come due "jet", due spruzzate di particelle emesse in direzione opposta, orientate secondo la direzione dei due quark originari. Di eventi di questo tipo ne sono stati osservati in grande quantità, e sono la normalità negli odierni esperimenti di particelle.

Un evento a due jet di particelle, risultato della produzione di una coppia quark-antiquark con alto impulso.





 

 



mercoledì 27 gennaio 2021

Il buco nero nel centro della Via Lattea con la matematica del liceo.

Premi Nobel per la Fisica del 2020, assegnati a Roger Penrose, Reinhard Genzel e Andrea Ghez (una donna, finalmente!) hanno come tema comune i buchi neri. In particolare, gli ultimi due nomi hanno effettuato lo studio di Sagittarius A, un oggetto astrofisico situato al centro della nostra Via Lattea, a 27000 anni luce dalla terra, già noto per essere una intensa sorgente radio. Il lavoro indipendente dei gruppi di ricerca coordinati da Genzel e Ghez ha portato alla scoperta che Sagittarius A è in realtà un buco nero supermassiccio. Molte galassie hanno la caratteristica di avere un buco nero di grande massa al loro centro (fonte), pari a milioni o addirittura miliardi di masse solari. 

La zona di stelle al centro della nostra Via Lattea. Sagittarius A si trova nel riquadro.

Il raggio di un buco nero (quello che tecnicamente si chiama "Raggio di Schwarzschild") caratterizza la superficie della sfera di non ritorno in un ipotetico viaggio verso un buco nero, la superficie sulla quale la velocità di fuga per uscire dal buco nero assume il valore della velocità della luce. Nulla, neanche un raggio di luce, se emesso all'interno di questa superficie, potrebbe fuoriuscirne, e essere visibile al mondo esterno. Non è una superficie fisica, non è la superficie del buco nero, non è la superficie che delimita la materia del buco nero dal mondo esterno. E' una superficie ideale, matematica. Il valore del raggio di questa ipotetica sfera cresce proporzionalmente alla massa del buco nero, e vale:

dove M è la massa del buco nero, G è la costante di gravitazione, e c è la velocità della luce. 

Se potessimo idealmente comprimere la terra tanto da formarne un buco nero, il suo raggio di Schwarzschild sarebbe grosso modo pari a un centimetro. Per il sole esso varrebbe invece circa 3 Km. Al centro della galassia M87, nella costellazione della Vergine, a una cinquantina di milioni di anni luce da noi, c'è un buco nero (recentemente "fotografato") la cui massa stimata è di 6.6 miliardi di masse solari, che corrispondono a un raggio di Schwarzschild di una ventina di miliardi di chilometri, circa 3 volte la distanza di Plutone dal Sole. 

Sagittarius A, il buco nero supermassiccio nostrano (che però non è il buco nero più vicino alla terra!), è un po' più magro, dato che ha una massa stimata di circa 4 milioni di masse solari, che corrispondono a un Raggio di Schwarzschild di circa 12 milioni di chilometri. Circa  17 volte le dimensioni del nostro sole, e corrispondenti a 40 secondi luce. La distanza terra-sole, per confronto, è pari a circa 500 secondi luce, grossomodo 8 minuti.

Il lavoro che ha portato Reinhard Genzel e Andrea Ghez a vincere il premio Nobel riguarda la misura dei parametri di Sagittarius A, e ha del meraviglioso. Infatti, a parte gli inevitabili aspetti tecnici, ci sono alcune caratteristiche delle misure effettuate che sono fruibili e godibili da chiunque, senza essere necessariamente esperti della materia, e che generano pura meraviglia. Questi due gruppi di ricerca hanno infatti ricavato le caratteristiche del buco nero di Sagittarius A osservando il moto delle stelle attorno al centro della nostra galassia, una zona di alta densità stellare, e mappando quindi nel tempo la posizione delle singole stelle. E quello che hanno osservato è qualcosa di inaspettato e meraviglioso per chiunque.

Infatti, normalmente, per tutti noi le stelle sono "stelle fisse". Sono sempre lì, non a caso le chiamavano così fin dall'antichità. Sono talmente distanti che la loro posizione reciproca non cambia ai nostri occhi se non usiamo strumenti sofisticati e protraiamo le osservazioni per tempi relativamente lunghi. Insomma: osservare le piccole mutazioni delle posizioni relative delle stelle, se non si è addetti ai lavori e motivati dalla propria ricerca, non è certamente qualcosa di entusiasmante. Invece l'osservazione delle stelle vicine al centro della galassia ha mostrato un vero putiferio (fonte). Una pogata generale di stelle, come succede tra il pubblico sotto il palco di un concerto metal. In questo intreccio di orbite si nota che tutte hanno un punto in comune, un fuoco dell'ellisse. In quel punto c'è la causa di tutti i loro convulsi movimenti. Il filmato spettacolare di quello che succede al centro della nostra Via Lattea è questo

Ci sono decine di stelle che orbitano attorno a un punto, con orbite più o meno ellittiche, che seguono sostanzialmente le leggi di Keplero. Certo, un buco nero è un oggetto che per definizione è legato alla Teoria della Relatività Generale, ma nonostante questo il moto di quelle stelle è comunque ben descritto dalle vecchie leggi di Newton, e la Relatività Generale influisce solo con correzioni, tipo effetti di precessione (come si osserva, in piccolo, anche per il pianeta Mercurio). In pratica, quindi, le leggi di Newton permettono già di darci un quadro molto buono di cosa c'è al centro della galassia, e che determina quel moto così folle delle stelle che gli stanno attorno.

In particolare c'è una stella che si chiama S2. Il periodo di osservazione del centro galattico da parte dei due gruppi di ricerca ha permesso di mappare con ottima precisione il moto di questa stella. Nel filmato essa compie un'ellisse completa con un periodo di 16 anni, un semiasse maggiore pari a 970 volte la distanza terra-sole, e un punto di maggiore avvicinamento a Sagittarius A di circa 17 ore luce, più o meno 4 volte la distanza fra il sole e Nettuno. Nel punto di massimo avvicinamento, la stella si muove a una velocità stimata pari a più di 7500 km/s, ovvero quasi il 3% della velocità della luce. E' bellissimo vederla muoversi, lentamente quando è nel punto più distante, e poi accelerare di colpo e svirgolare al passaggio al periastro. Sembra un video gioco. Nel punto più vicino a Sagittarius A, la teoria di Einstein prevede un redshift gravitazionale abbastanza sostanzioso, in aggiunta al redshift dovuto alla velocità. Tale redshift è stato misurato, in ottimo accordo con la teoria. Informazioni più dettagliate sulle caratteristiche di questa baraonda galattica, e le informazioni che se ne possono trarre sulle leggi fisiche, si possono trovare ad esempio qui e qui.

Ma la cosa bella è che, in base a questi parametri, possiamo calcolare la massa dell'oggetto responsabile del moto della stella.

Non sarà un calcolo preciso, certo, perché useremo la Legge d Newton. Non terremo conto delle varie correzioni legate alla Teoria della Relatività Generale, e nemmeno di tanti altri effetti. Ma dal divano di casa, con la sola fisica del terzo liceo, possiamo fare una stima di quanta massa deve esserci in quel punto senza luce attorno al quale si muove la stella S2, e assieme a lei tutte le altre di questo filmato. E il risultato di questo conto un tanto al chilo, sarà sorprendentemente accurato.

In particolare useremo la terza legge di Keplero, che peraltro deriva pari pari dalla legge di Newton. Se il moto della stella fosse circolare, dalla legge di Newton della gravitazione universale potremmo scrivere che

dove R è il raggio dell'orbita, v è la velocità tangenziale della stella che orbita, T è il periodo di rivoluzione, M è la massa che cerchiamo, e G è la solita costante di gravitazione universale. Il calcolo usa il fatto che la velocità in un moto circolare uniforme è la lunghezza della circonferenza diviso il tempo T impiegato a percorrerla. Sono cose da terza liceo, appunto.

Nel nostro caso il percorso di C2 non è una circonferenza, ma un'ellisse. In questo caso, però, si può dimostrare che il raggio R deve essere sostituito dal semiasse maggiore. Chiamiamolo "a". A questo punto, sostituendo R con a, con un semplice passaggio di algebra, abbiamo che la massa dell'oggetto misterioso che stiamo cercando vale:

In realtà M, a essere precisi, sarebbe la massa dell'oggetto attorno a cui ruota il corpo in questione (S2) sommato alla massa dell'astro centrale, ma la massa della stella S2 è dell'ordine di una decina di masse solari, e vedremo che il suo ruolo è del tutto ininfluente. Comunque questo ci dice per inciso che la terza legge di Keplero, a voler essere precisi, è approssimata, perché in essa ci sarebbe anche una leggerissima dipendenza dalla massa del pianeta (che nel nostro caso è la stella S2). Siccome però nel caso del nostro Sistema Solare le masse dei pianeti, anche i più grandi, sono piccole rispetto alla massa del sole, la Terza Legge di Keplero funziona molto bene sia per la Terra che per Giove.

Perfetto. Allora adesso mettiamoci dentro i numeri: G = 6,67×10−11 N m²/kg², T = 16.05 anni = 0,51 miliardi di secondi, a = 970 au (au = astronomy units; 1 unità astronomica è pari alla distanza terra-sole) = 1.45 ×1011 m).  A questo punto usiamo la calcolatrice, sbagliamo quelle 6 o 7 volte nel fare i conti (signora, suo figlio la matematica la capisce, ma è di un distratto!), e alla fine otteniamo M = 6.3×1036 Kg. Per capire se è tanto o poco, esprimiamo questo valore in termini di multipli di masse solari: la massa del sole vale 2×1030 Kg, quindi la massa dell'oggetto misterioso attorno a cui ruota la stella S2 vale un po' più di 3 milioni di masse solari. Il calcolo corretto, ottenuto usando anche le informazioni di tutte le altre stelle, e in cui sono incluse tutte le opportune correzioni, avrebbe dato una massa di (4.154±0.014)×106 masse solari. Non male, per un conto della serva (on the back of an envelope, dicono gli anglosassoni) in cui abbiamo usato la vecchia legge di Newton, ignorando la Relatività e tutte le possibili complicazioni, che pure ci sono!

Quindi la nostra stella S2, e tutte le altre stelle della "zona", ruotano attorno a un oggetto che ha una massa di qualche milione di masse solari, concentrata in una dimensione inferiore alle dimensioni del nostro sistema solare. Questo oggetto, con quella massa, non può essere una normale stella invisibile. Quell'oggetto, con quella massa, è un buco nero. Un buco nero gigante, per l'aggiunta. Infatti, con quella massa, un buco nero ha un Raggio di Schwarzschild di 12 milioni di km. Su quella ipotetica superficie, l'accelerazione di gravità sarebbe grosso modo pari a 370mila volte quella sulla superficie terrestre.

Ma se, putacaso, fossimo in caduta libera mentre attraversiamo allegramente quella superficie, non dovremmo preoccuparci dell'enorme valore di g, perché, essendo in caduta libera, non percepiremmo nulla, e galleggeremmo come gli astronauti nella stazione spaziale. Al limite potremmo percepire piccoli effetti di stiramento, ma direi neanche tanto, perché le dimensioni di un essere umano, rispetto a 12 milioni di chilometri, sono molto piccole, e quindi la differenza di g fra testa e piedi non sarebbe significativa. "Finora tutto bene!!!", potremmo quindi comunicare ai terrestri in ascolto. Ma quel segnale, ahimè, non arriverà mai a destinazione.


PS: Massimo Germano, che ringrazio, mi fa notare che l'accelerazione di gravità al raggio di Schwarzschild, includendo anche le correzioni della relatività generale, andrebbe in realtà all'infinito, in quanto l'espressione corretta è: