A cosa serve il calcolo tensoriale? Per trovare la svolta giusta alla rotonda

Ancora un esempio sulle tortuose strade che collegano la ricerca alle applicazioni pratiche

Il GPS adesso lo usano tutti. A parte l'uso che ne facciamo comunemente sull'auto, è uno strumento ormai indispensabile nella navigazione aerea e navale, e nell'escursionismo, ad esempio in alta montagna, può perfino salvare vite umane. E' sempre grazie al GPS installato sui treni che sappiamo i ritardi reali di Trenitalia, che altrimenti scriverebbe sempre "RIT. 5'" anche se sono 20.

Il GPS funziona in questo modo. Attorno alla terra ci sono 24 satelliti che ruotano su varie orbite a 20000 Km di quota, in modo tale che in ogni istante qualunque punto della superficie terrestre sia visibile da almeno 4 di essi. Il ricevitore GPS, dal cruscotto della nostra auto, localizza i 4 satelliti e ne misura la loro distanza. Per risalire dalle loro distanze alla posizione assoluta del ricevitore sulla superficie terrestre in modo non ambiguo, il numero minimo di satelliti visibili è 4. Per questi dettagli vedi ad esempio qui. Il punto è: come fa il GPS a misurare la distanza del satellite? In realtà misura il tempo che ci mette il segnale emesso dal satellite a arrivare a lui. In sostanza, anche se i dettagli sono più complessi (come sempre) è come se il satellite gli dicesse: "ti mando questo segnale e adesso sono le ore x esatte, e io mi trovo in questo punto y". Il nostro ricevitore lo riceve e dice "ohibò, l'ho ricevuto alle ore x + tot, e quindi, essendo la velocità della luce costante e indipendente da qualunque sistema di riferimento, la distanza del satellite che mi ha inviato il segnale è la velocità della luce per il tempo che ha impiegato a arrivare fino a me". Facile no?

Solo sulla carta. La difficoltà è intanto quella di misurare i tempi con grande precisione. Il segnale infatti impiega un po' meno di 7 centesimi di secondo per arrivare dal satellite al nostro cruscotto. Un errore di un millesimo di secondo nella misura del tempo equivarrebbe a un'imprecisione sulla posizione di 300 Km, e se il nostro problema è dove svoltare alla rotonda questo potrebbe costituire un problema. Il tutto si risolve montando sui satelliti degli orologi atomici, che sfruttando le oscillazioni di certi atomi nella materia sbagliano a darti l'ora soltanto di 1 nanosecondo, cioè un miliardesimo di secondo.

Il nostro ricevitore non può avere ovviamente anche lui al suo interno un orologio così preciso, per questione di costi. Per cui si autocorregge continuamente con i satelliti, chiedendo loro sostanzialmente che ore sono e risincronizzandosi (i dettagli, come sempre sono complessi).

Ora, c'è un problema. I satelliti si muovono rispetto al ricevitore. E la teoria della relatività ristretta ci dice che il tempo in un sistema in moto scorre differentemente dal tempo in un sistema fermo. Quindi il tempo sui satelliti scorre in modo leggermente diverso dal tempo sulla terraferma. E quindi l'intervallo di tempo misurato dal ricevitore mentre il  segnale va dal satellite a lui, sarà diverso dall'intervallo di tempo misurato dal satellite. E che sarà mai, direte voi! La relatività conta quando le velocità in gioco sono vicine a quelle della luce, e un satellite, per quanto vada veloce, va molto più lento della luce! Vero, però...

Però se uno va a fare i conti, per una velocità del satellite di circa 4 Km/s, un intervallo di tempo di 1 secondo misurato dal satellite differisce di un centesimo di miliardesimo di secondo dal secondo misurato a terra. Non sembra un problema. Ma su un giorno, cioè 86400 secondi, lo sfasamento degli orologi fra satellite e terra sarebbe di più di 7 microsecondi. Una sciocchezza che, se moltiplicata per la velocità della luce, dà più di 2 Km. E se vogliamo svoltare alla traversa giusta della rotonda ci serve una precisione di, diciamo, 10 metri. E se in un giorno si sbaglia di 2 Km, 10 metri li si sbagliano dopo 7 minuti. Ovvero dopo 7 minuti, se il nostro sistema GPS non tenesse conto di questo effetto, diventerebbe inservibile.

E poi c'è la Relatività Generale, che ci dice che il tempo scorre in modo diverso al variare del campo gravitazionale. Sulla terra, dove il campo di gravità è più intenso, il tempo scorre un po' più lento che sui satelliti, dove la forza di gravità della terra e inferiore. Ci sono due orologi atomici, uno a Torino e uno al Plateau Rosà, a 3500 metri di quota (sembra una barzelletta, tipo ci sono un italiano, un francese...). I due orologi all'inizio sono sincronizzati. Dopo 2 mesi quello al Plateau Rosà è più avanti di 2,4 microsecondi. E se fosse su un satellite, a 20000 Km di quota invece che 3 e mezzo, sarebbe ancora più avanti. Anche qui, mammamia, e che sarà mai! E invece i calcoli mostrano che l'effetto, di segno contrario a quello descritto prima, è di 45 microsecondi al giorno, ovvero un errore, in un giorno, di 15 Km. E quindi i nostri 10 metri di precisione, se non tenessimo conto di questo effetto, li perderemmo dopo appena 1 minuto, a causa di questo effetto aggiuntivo dovuto alla relatività generale.

Quindi il GPS funziona correttamente anche grazie alla teoria della relatività. La misura dei tempi deve essere continuamente corretta per questi effetti, piccolissimi in apparenza, ma determinanti per il funzionamento di un apparecchio che, per servire, deve essere molto preciso. Senza le correzioni basate sulla teoria della relatività il GPS perderebbe la posizione (e quindi la sua utilità), in un paio di minuti al massimo. E addio svolta giusta alla rotonda.

Il GPS è quindi un gadget che funziona grazie a una teoria tra le più astruse e fuori dal mondo che ci sono in fisica. Una teoria che si applica ai buchi neri, alle stelle di neutroni, agli oggetti più strani che esistono nell'universo, si rivela indispensabile per usare una specie di elettrodomestico di uso comune! Chi l'avrebbe mai immaginato? Di sicuro Einstein non ci avrebbe pensato, nel 1915, quando formulò la sua relatività generale.

Ma non è finita qui. La relatività generale si basa su una matematica piuttosto complessa che si chiama calcolo tensoriale. Einstein non conosceva questo tipo di matematica, e non sapeva nemmeno della sua esistenza. Per questo, quando intuì i principi fisici che stavano alla base della sua nuova interpretazione della gravitazione, rimase diversi anni impantanato senza riuscire a formalizzarla in una teoria organica. Nei suoi scritti racconta al suo amico e collega Marcel Grossmann il suo sconforto, la sua impotenza nel non saper procedere in questa sua intuizione per mancanza di strumenti tecnici. Nonostante quello che si crede, infatti, Einstein di matematica all'inizio ne sapeva il giusto.

Grossmann lo informò che un matematico di Lugo, in provincia di Ravenna, un certo Gregorio Ricci Curbastro, aveva sviluppato un nuovo tipo di calcolo matematico che forse poteva fare al caso suo. Era una matematica che serviva a descrivere le geometrie non euclidee, tipo le superfici delle cotolette che davano alla mensa universitaria ai miei tempi, che essendo più nervi che carne si avviluppavano su se stesse quando le cuocevano. Einstein si mise a studiare questo nuovo tipo di matematica, che non conosceva affatto. Nei suoi scritti racconta che furono anni di studio durissimo e di estrema fatica. Alla fine, grazie alla nuova matematica di Ricci Curbastro, riuscì a dare corpo alla teoria della relatività generale, formalizzandola in qualcosa di organico e comprensibile. Quella teoria che 80 anni più tardi servirà a far funzionare un oggetto di grande utilità comune che si chiama GPS, e indicarci la svolta giusta alla rotonda.

Capito come funziona la ricerca? A cosa serve la matematica delle geometrie non euclidee? A niente, in apparenza, a parte trastullare i matematici. A far funzionare il GPS nella pratica. Se uno avesse chiesto a Ricci Curbastro che applicazioni pratiche avrebbe avuto il tuo calcolo tensoriale, probabilmente egli avrebbe risposto che un matematico se ne frega di queste cose. Un matematico sviluppa la matematica in quanto emanazione della logica. E invece, come sempre, la connessione fra ricerca di base e applicazione pratica è imprevedibile ma c'è sempre. In questo caso il GPS è un mix di relatività, matematica avanzata, meccanica quantistica (gli orologi atomici), meccanica celeste (le orbite vanno studiate giuste), astronautica e missilistica (i GPS nello spazio bisogna mandarceli), microelettronica e tecnologia spiccia di vario tipo. Togliete uno solo di questi ingredienti e la svolta giusta alla rotonda ve la trovare poi da soli!

Per questo, quando sento gente che di fronte alla ricerca scientifica di cui non vede applicazioni immediate si chiede a cosa potrà mai servire, vorrei avere un lanciafiamme.